Post ini merupakan pembuka bagi sebuah deretan post matematika mengenai kalkulus vektor, dan aljabar linier. Post ini dibuat atas permintaan beberapa teman ITB.
Urutan logika yang paling efisien untuk sebuah subjek biasanya berbeda dari urutan psikologis terbaik untuk mempelajarinya. Sebagian besar tulisan matematika berdasarkan terlalu dekat pada urutan deduksi logika dalam sebuah subjek, dengan terlalu banyak definisi tanpa, atau sebelum, contoh yang memotivasinya, dan terlalu banyak jawaban sebelum, atau tanpa, pertanyaan. (William Thurston)
Membaca matematika berbeda dengan membaca tulisan lainnya. Pertama, ingat kalau ada dua bagian untuk memahami sebuah teorema: memahami pernyataannya, dan memahami buktinya. Memahami pernyataan lebih penting dari memahami bukti.
Bagaimana bila anda tidak memahami pernyataannya? Bila ada sebuah simbol dalam rumus yang tidak kamu mengerti, mungkin sebuah delta kecil, teruskan dulu membaca, “dimana delta kecil adalah bla bla bla.” Dengan kata lain, baca seluruh kalimat terlebih dahulu sebelum memutuskan kalau kamu tidak mengerti.
Bila kamu masih mendapatkan masalah, lewatkan saja langsung menuju contoh. Ini mungkin bertentangan dengan apa yang kamu pahami kalau matematika bersifat terurut, dan kamu harus memahami tiap kalimat sebelum melanjutkan. Kenyataannya, walaupun tulisan matematika harus berurutan, pemahaman matematika tidak: kamu (dan para matematikawan) tidak pernah memahami secara sempurna hingga pada satu titik dan tidak lagi mengerti setelahnya. Setelahnya, dimana pemahaman hanyalah parsial, adalah bagian dasar untuk motivasi dan latar belakang konseptual dari “disini dan sekarang.” Kamu mungkin sering (malah biasanya) menemukan kalau saat kamu kembali membaca apa yang dulunya samar-samar, ternyata menjadi lebih jelas karena membaca bagian sesudahnya, walaupun lanjutannya masih kabur.
Banyak mahasiswa merasa tidak nyaman kalau hanya paham setengah-setengah, seperti seorang pemanjat tebing yunior yang ingin tetap seimbang sepanjang waktu. Untuk belajar dengan efektif, kamu harus bersedia meninggalkan kepompong keseimbangan. Jadi, bila kamu tidak memahami sesuatu dengan sempurna, teruskan saja dan nanti kembali lagi.
Biasanya, sebuah contoh lebih mudah dipahami daripada pernyataan umum; kamu kemudian dapat kembali dan merangkum makna pernyataan dengan bantuan contoh tersebut. Bahkan bila kamu masih bermasalah dengan pernyataan umumnya, kamu akan jauh di depan bila kamu memahami contoh. Inilah keunikan belajar matematika murni.
Baca dan siapkan kertas dan pensil di tangan, buat sendiri contohnya dan teruskan. Kadang kesulitan dalam membaca matematika adalah notasi (lambang). Seorang pianis yang harus berhenti dan berpikir apakah lagunya harus berkunci A atau F tidak akan mampu membaca orkestra. Godaan untuk menyerah saat bertemu persamaan yang panjang harus disingkirkan. Kamu harus mengambil jeda untuk memahami “nada”.
Belajarlah simbol-simbol Yunani, bukan hanya yang biasa saja seperti alpha, beta, dan pi, namun yang lebih kabur seperti psi, xi, tau dan omega. Keterbatasan ketikan di wordpress memaksa kami harus menuliskan ucapannya, bukan simbolnya, tapi dalam rumus lengkap, kami akan tulis dalam bentuk simbol. Karena itu, pembaca harus memahami bukan hanya simbolnya tapi penyebutannya. Berikut adalah simbol-simbol huruf Yunani dan penyebutannya.
Notasi jumlah dan produk
Notasi jumlah pada awalnya dapat membingungkan; kita terbiasa membaca satu dimensi, dari kiri ke kanan, namun sesuatu seperti persamaan berikut
Memerlukan kemampuan berpikir dua atau bahkan tiga dimensi. Cukup membantu bila pada awalnya kamu menerjemahkannya kedalam pernyataan linier:
Atau
Dalam persamaan 0.1.3 di atas, simbol sigma besar yang diatasnya ada huruf n dan di bawahnya ada k = 1, menyatakan kalau jumlahnya akan memiliki n buah suku. Karena pernyataan yang dirangkum adalah ai,k bk,j, masing-masing dari n suku tersebut akan memiliki bentuk ab.
Dua sigma diletakkan berdampingan tidak menandakan hasil kali dua jumlah; satu jumlah digunakan untuk memperlakukan satu indeks, yang satunya lagi mengenai indeks lainnya. Hal yang sama dapat ditulis dengan satu sigma, dengan informasi kedua indeks ada di bawahnya. Sebagai contoh
Jumlah ganda ini ditunjukkan dalam gambar 0.1.1 berikut
Gambar 0.1.1
Dalam jumlah ganda persamaan 0.1.4, tiap jumlah memiliki tiga suku, sehingga jumlah ganda memiliki sembilan suku.
Aturan notasi produk analog dengan notasi jumlah tersebut:
Tentang Bukti-bukti
Sebelumnya telah kami katakan kalau lebih penting memahami pernyataan matematis daripada memahami buktinya. Dengan membaca banyak bukti, kamu akan belajar apa itu bukti, sehingga kamu akan tahu kapan kamu harus membuktikan sesuatu dan kapan kamu tidak perlu membuktikan sesuatu.
Selain itu, bukti yang bagus bukan hanya meyakinkan kamu kalau sesuatu itu benar; ia memberi tahu mengapa ia benar. Kamu mungkin tidak kuatir apa yang kami ajarkan memiliki bukti ataupun apa yang diajarkan di buku paket matematika murni. Ini disebut “bukti berdasarkan otoritas”; kamu berasumsi kalau sang penulisnya tahu apa yang dia bicarakan. Namun, membaca bukti akan membantu anda memahami bahannya.
Bila kamu ragu, ingat kalau pelajaran kalkulus vektor merupakan versi bersih dari banyak kesalahan. Sebagai contoh, John Hubbard mulai mencoba membuktikan teorema Fubini dalam bentuk yang diajukan dalam persamaan berikut.
Saat ia gagal, ia sadar ada yang ia pernah ingat tapi lupakan, kalau pernyataan ini sesungguhnya salah. Ia kemudian kembali ke meja sebelum akhirnya tiba pada bukti yang benar. Pernyataan matematik lainnya dalam kalkulus vektor mencerminkan usaha dari sebagian matematikawan terbaik dunia sepanjang tahun.
Pembahasan mengenai dasar-dasar matematika murni dan terus berlanjut ke kalkulus vektor, aljabar linier dan kalkulus multivariat di situs ini akan membutuhkan waktu sangat lama. Kami mungkin hanya bisa menyajikan tiga artikel dalam seminggu dan mungkin kurang. Harapan kami kedepannya teman-teman punya bekal yang baik dalam memahami matematika dan pola pikir logis sehingga bisa diterapkan dalam hidup sehari-hari atau untuk memahami teori yang membutuhkan matematika tingkat tinggi seperti teori-teori kosmologi big bang, relativitas umum, teori kuantum, teori M dan bahkan teori buatan anda sendiri. Mengenai intisari dalam tulisan-tulisan ini, semua dibuat berdasarkan karya John Hamal Hubbard dan Barbara Burke Hubbard, 2009. Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms: A Unified Approach. Prentice Hall.
Sumber :
No comments:
Post a Comment