Bilangan Cacah
Bilangan asli berasal dari hitungan. Kalau gak ada benda, kita bilang nol. Satu benda, ya satu. Dua benda, ya dua. Dan seterusnya. Gampang mah. Paling mudah adalah melihat garis bilangan. Atau kalau memakai himpunan, kita bisa menulis C = {0, 1, 2, 3, 4, …}. C artinya himpunan bilangan Cacah. Bila nol tidak dimasukkan dalam himpunan bilangan ini, maka ia merupakan himpunan bilangan asli, atau ditulis N = {1, 2, 3, 4, …}.
Bilangan Cacah
Kurang Dari dan Lebih Dari
Pada garis bilangan, ke KIRI berarti LEBIH KECIL. Kita memakai tanda “<” (kurang dari) untuk menunjukkan kalau bilangan tersebut lebih kecil daripada bilangan yang dihadap oleh mulut tanda yang menganga.
Jadi
3 < 9
Kita menyebutnya, 3 kurang dari 9.
Kita memakai tanda “>” (lebih dari) untuk menunjukkan bilangan tersebut lebih besar daripada bilangan yang dihadap oleh buntut tanda.
6 > 5
Kita menyebutnya, 6 lebih besar dari 5.
Bilangan Negatif
Salah satu masalah terbesar yang orang hadapi dalam matematika adalah bilangan negatif. Jadi, hati-hati dengan negatif.
Sebuah bilangan negatif adalah bilangan yang nilainya kurang dari nol. Kita memberi tanda minus di depan bilangan negatif.
Contoh
-4
-4/5
-2.64
-Pi
Bilangan negatif ditunjukkan di sebelah kiri garis bilangan, seperti dalam gambar berikut
Garis Bilangan Negatif
Manfaat Bilangan Negatif
- Suhu (dibawah nol)
- Pertanda kekurangan dalam neraca
- Golf
- Teknik (gaya yang memiliki arah berbeda)
- Sains
Sekarang kita siap belajar bilangan bulat.
Bilangan bulat
Bilangan bulat didefinisikan sebagai:
- Bilangan asli negatif (…,-4, -3, -2, -1)
- Bilangan cacah
Himpunan bilangan bulat tidak memuat desimal atau pecahan. Kalau dilihat pada garis bilangan satu arah, bentuknya seperti ini
Garis bilangan bulat
Ingat kalau di garis bilangan tadi, KIRI berarti LEBIH KECIL.
Jadi
-4 < 2 (kita katakan “negatif 4 kurang dari 2”) dan
- 647 < – 44.
Begitu juga, bila sebuah bilangan ada di KANAN bilangan kedua, ia lebih besar dari bilangan kedua tersebut.
1 > -3 (kita katakan “1 lebih dari negatif 3”) dan
-4 > -574
Nilai Mutlak
Jarak dari 0 ke sebuah bilangan bulat disebut nilai mutlaknya (ditulis menggunakan kurungan vertikal mengelilingi bilangan).
Contoh:
|-5| = 5
Jarak dari -5 ke 0 adalah 5 satuan:
Ilustrasi nilai Mutlak
Begitu juga:
|-5| = 5
|-36.77| = 36.77
Lawan dari Bilangan Bulat
Lawan dari sebuah bilangan bulat diperoleh dengan mengganti tandanya. Kalau ia + berarti lawannya -, kalau ia – berarti lawannya +.
Contoh :
- Lawan dari -7 adalah 7 dan
- Lawan dari 3 adalah -3
Lawan berbeda dengan nilai mutlak.
Penjumlahan bilangan bulat
Gunakan garis bilangan dan bayangkan perjalanan.
-3 + 3 berarti “mulai dari -3 dan maju 3 langkah ke arah positif”
Jadi kita punya:
Ilustrasi penjumlahan bilangan bulat
Jawabannya adalah:
-3 + 3 = 0
Begitu juga
8 + -10 berarti “mulai di 8 dan lompat 10 ke arah negatif”
Jawabannya : -2
-7 + 98 berarti “mulai di -7 dan lompat 98 langkah ke arah positif”
Jawabannya : 91
Soal : Sekarang suhu menunjukkan -4° sementara ada ramalan cuaca mengatakan besok akan ada peningkatan suhu sebesar 5°. Berapa suhu besok?
Jawabannya: -4 + 5 = 1. Besok suhunya adalah 1°.
Pengurangan bilangan bulat
Kita bisa mengganti pengurangan menjadi penjumlahan dengan menyadari kalau pengurangan bilangan bulat pada dasarnya adalah menambah dengan lawannya.
Contoh :
-3 – (-1) = -3 + (+1) = -2 (lawan dari -1 adalah +1)
7 – (+1) = 7 + (-1) = 6. (lawan dari +1 adalah -1)
Perkalian bilangan bulat
Contoh 1
5 x -3 = -15
Kenapa seperti ini? kita hanya mengambil -3 sebanyak lima kali, seperti gambar:
Perhatikan, kalau kita mengalikan sebuah bilangan positif dengan sebuah bilangan negatif, hasilnya adalah bilangan negatif.
Contoh 2
Begitu juga, bisa kita tunjukkan kalau:
(a) -6 x 2 = -12 (negatif dikali positif hasilnya negatif)
dan
(b) -3 x -7 = 21 (perkalian dua negatif menghasilkan positif)
Kita dapat merangkum hasil perkalian bilangan bulat:
Positif x positif = positif
+ x + = +
Tandanya sama: jawabannya positif
Contoh : 2 x 3 = 6
Negatif x positif = negatif
- x + = -
Tandanya beda: jawabannya negatif
Contoh: -8 x 2 = -16
Positif x negatif = negatif
+ x – = -
Tandanya beda: jawabannya negatif
Contoh: 5 x -2 = -10
Negatif x negatif = positif
- x – = +
Tandanya sama: jawabannya positif
Contoh : -5 x -3 = 15
Pembagian bilangan Bulat
Aturan tandanya sama dengan perkalian bilangan bulat.
positif / positif = positif
Contoh: 15 / 3 = 5
negatif / positif = negatif
Contoh: -8 / 2 = -4
positif /negatif = negatif
Contoh: 21/ -7 = -3
negatif /negatif = positif
Contoh: -50 / -5 = 10
Sifat bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat bersifat komutatif, asosiatif dan memiliki identitas penjumlahan maupun perkalian. Tabel berikut memberi contoh dan menjelaskannya.
| Penjumlahan | Perkalian | |
| Tertutup | 3 + -7 = -4
Bila kita menambahkan dua bilangan bulat, hasilnya juga bilangan bulat.
| -5 x -3 = 15
Bila kita mengalikan dua bilangan bulat, hasilnya juga bilangan bulat
|
| Komutatif | 4 + -5 = -5 + 4
Tidak masalah bagaimana urutan penjumlahan, hasilnya tetap sama.
| 2 x -5 = -5 x 2
Tidak masalah bagaimana urutan perkalian, hasilnya tetap sama.
|
| Asosiatif | (4 + -2) + -5 = 4 + (-2 + -5)
Saat menambahkan tiga bilangan bulat, tidak masalah kita menambah pasangan pertama atau pasangan terakhir, jawabannya tetap sama.
| (4 x -2) x -5 = 4 x (-2 x -5)
Saat mengalikan tiga bilangan bulat, tidak masalah kita mengalikan pasangan pertama atau pasangan terakhir, jawabannya tetap sama.
|
| Identitas | -5 + 0 = 0 + -5 = -5
Nol adalah unsur identitas penjumlahan. Dengan menambahkan nol, kita tidak mengubah bilangannya.
| -3 x 1 = 1 x -3 = -3
Satu adalah unsur identitas perkalian. Dengan mengalikan dengan 1, kita tidak mengubah bilangannya.
|
Hukum distributif pada penjumlahan dan pengurangan berlaku pada bilangan bulat:
| Penjumlahan | Pengurangan | |
| Distributif | 3(2 + -4) = 3 x 2 + 3 x (-4)
Kita mengalikan tiap bilangan didalam kurung dengan bilangan di luarnya,tambah tetap di tengah.
| -2(5 – 7) = (-2 x 5) – (-2 x 7)
Kita mengalikan tiap bilangan didalam kurung dengan bilangan di luarnya, kurangtetap di tengah.
|
Sumber :
No comments:
Post a Comment