Teori Diferensial

Untuk memahami diferensial yang membawa ke konsep integral, kita akan mulai dari definisi terlebih dahulu.

Definisi : Diferensial dari y=f(x) ditulis: dy = f’(x)dx.

Dengan kata lain, untuk menulis diferensial dari sebuah rumus atau fungsi, kamu harus memberi huruf d di depan yang dicari dan memberi tanda aksen pada lambang fungsinya, terus akhir dari lambang tersebut di beri tambahan dx.

Leibniz, salah seorang penemu diferensial

Contohnya ntar. Sekarang persamaan dy = f ‘(x)dx dapat kita ubah dengan memindah ruaskan dx.

dy = f’(x) dx

menjadi

dy/dx = f’(x)

Lihat ruas kirinya. Ruas kirinya adalah sebuah pecahan, karena ada tanda bagi disitu. Pecahan ini adalah dy/dx.

Selanjutnya, untuk operasi diferensial sendiri, kita cukup mengalikan pangkat variabel dengan koefisien variabel, kemudian pangkat variabel tersebut dikurangi satu.

Sebelumnya kita pastikan dulu kamu tau yang mana koefisien dan mana variabel. Lihat ini : 8x².

8 adalah koefisien, x adalah variabel dan 2 adalah pangkat.

Gampang kan?

Nah, diferensialnya menjadi : 16x¹ atau cukup ditulis 16x. 16 didapat dari mengalikan pangkat variabel dengan koefisien variabel, yaitu 2 dikali 8. Kemudian pangkatnya berkurang satu, sehingga dari 2 menjadi 1. Sesederhana itu.

Contoh:

Coba cari diferensial dari y = 3x⁵- x.

Jawab :

dy = f’(x)dx

dy = (15x⁴ – 1)dx

Perhatikan, x berubah jadi satu, karena koefisiennya 1. Dengan kata lain, x sebenarnya adalah 1x¹. Koefisiennya 1, dan pangkat variabelnya juga 1. Akibatnya kalau dikalikan ya hasilnya 1. Pangkatnya lalu dikurangi 1, jadi pangkat variabelnya 0. Atau kalau ditulis jadi, 1x⁰. Secara matematis, berapapun dipangkatkan nol, hasilnya 1, walaupun itu variabel, seperti x. Jadinya 1x⁰ bisa ditulis 1 kali 1. Ya hasilnya 1 dong.

Isaac Newton, penemu diferensial lainnya

Oh iya, kamu juga bisa menulis jawaban di atas dengan memindahkan dx ke ruas kiri sehingga menjadi

dy/dx = (15x⁴ – 1)

Kamu bahkan bisa mendiferensialkannya lagi! Anggap saja ruas kiri itu y. Kalau kamu diferensialkan lagi, hasilnya adalah turunan orde ke dua.

d(dy/dx) = (15x⁴ – 1) dx

d²y/dx = 60x³ dx

d²y/dx² = 60x³

Asal dari 60x³ sudah jelas, yaitu 15 dikali 4 dan pangkat dikurangi 1 menjadi 3. 1 sendiri sudah tidak memiliki variabel. Ini aturannya:

Bila sebuah suku tidak lagi memiliki variabel, diferensialnya adalah 0

Makanya sudah tinggal satu suku disitu.

Kamu bisa menebak sampai kapan diferensial ini berakhir bila diteruskan. 60x³ akan menjadi 180x² pada ordo ketiga, menjadi 360x pada ordo keempat, menjadi 360 pada ordo kelima, dan 0 pada ordo keenam. Habisnya pada ordo keenam.

Buat latihan kamu bisa mencoba mencari diferensial dari : dy/dx = 5x² – 4x + 2

Kita dapat memakai diferensial untuk memperkirakan perubahan nyata dalam nilai sebuah fungsi akibat perubahan kecil pada nilai variabelnya. Dalam contoh diatas nilai nilai fungsi adalah y sehingga perubahan nilai fungsinya adalah delta y sementara variabelnya adalah x sehingga perubahan nilai variabelnya adalah delta x. Banyak buku teks membahas hal ini di pendahuluan diferensial atau integral, tapi ngapain juga melakukan pendekatan kalau kita bisa menemukan nilai pastinya. Ya gak? Bikin bingung aja.

Nah, kembali ke dy/dx = (15x⁴ – 1)

Fungsi hasil diferensial di atas memiliki fungsi asal y = 3x⁵- x. Bagaimana kita tahu kalau fungsi asalnya ini? ya karena kita barusan mengerjakannya. Hehe. Gak gitu lah, kalau soalnya diganti gimana?  dy/dx = 5x² – 4x + 2. Coba cari fungsi asalnya (bukan diferensialnya yah). Untuk inilah kita memakai proses integral.

Sumber:

faktailmiah.com
Mistress' House