Sekarang kita akan melakukan proses kebalikan dari diferensiasi. Proses ini disebut anti diferensiasi, atau integrasi. Kita menyebutnya integral saja.
Contoh
Kalau kita tahu bahwa: dy/dx = 15x4 -1
Dan kita mau tahu fungsi asal dari turunan ini, gimana caranya? Kita bisa balik prosesnya. Kita juga sudah mencobanya dalam bahasan diferensial. Jawabannya y = 3x5- x.
Tapi ini baru SALAH SATU jawaban. Kita kan tahu kalau diferensial dari bilangan tanpa variabel hasilnya nol. Dan kita bisa mengubah soal pertama menjadi : dy/dx = 15x4 -1 + 0 atau dy/dx = 15x4 -1+ 0+ 0 atau dy/dx = 15x4 -1+ 0+ 0 dan seterusnya
Hasilnya, fungsi aslinya bisa saja
y = 3x5- x + 3
atau
y = 3x5- x +658
atau
y = 3x5- x + 325.56909
atau bahkan
y = 3x5- x + 343 + 56+3+ 266- 98.45
dst dst, bilangan berapapun bisa diletakkan setelah suku terakhir tersebut. Ga caya? Coba aja diferensial kan.
Ahli matematika punya cara mudah. Cukup ganti saja semua bilangan apa saja tersebut dengan C. C singkatan dari Constant. Maksudnya konstanta, sebuah tetapan yang bisa berapa saja. Karena ia ada dalam proses pembalikan diferensial, kita menyebutnya konstanta integrasi. Dari negatif tak hingga sampe positif tak hingga. Jadi, jawaban yang tepat adalah
y = 3x5- x + C
ini disebut integral tak tentu. Tak tentu karena ada C disitu. Jika kamu sekolah di SMK Teknologi atau kuliah di Teknik Listrik, biasanya C diganti dengan K. Soalnya C sudah digunakan sebagai lambang kapasitansi.
Soal dan jawaban di atas dapat kita singkat menjadi
Yang ginian dibaca : integral 3x5- x terhadap x adalah 3x5- x + C
Lambang huruf s yang ditarik jadi jangkung itu artinya sum atau jumlah. Tapi kita membacanya integral karena jumlah sudah dipakai untuk lambang sigma. Ia dipakai sebagai lambang integral karena pada dasarnya integral juga jumlah dari luas daerah segiempat yang sangat tipis.
Sekarang cara menghitung integral
Kalau diferensial kita lakukan dengan mengalikan pangkat dengan koefisien, lalu pangkatnya dikurangi satu. Maka integral prosesnya terbalik
Integral dilakukan dengan menambah pangkatnya dengan satu, lalu membagi koefisien dengan hasil tersebut.
Contoh : 15x4
Kita tambahkan pangkatnya dengan satu, sehingga menjadi 15x5. Lalu kita bagi koefisien dengan pangkat yang baru. Koefisien dari soal di atas adalah 15, jadi kita bagi 15 dengan 5 hasilnya 3. Sehingga integral dari 15x4 adalah 3x5. Jangan lupa tambahkan C sehingga menjadi 3x5 + C.
Kalau sebuah bilangan tersebut tanpa variabel, seperti 4 misalnya. Kita cukup menyandingkan x sehingga menjadi 4x. Ini berangkat dari kenyataan kalau 4 sesungguhnya adalah 4x0. See, tambahkan satu pangkatnya, sehingga dari 0 menjadi 1. Lalu 4 kita bagi dengan 1. Hasilnya adalah 4x.
Contoh :
Lihat, x2 bisa ditulis 1x2. Sehingga ketika pangkatnya sudah ditambah satu, dari 2 menjadi 3. 1 yang ada di depan x2 dibagi dengan 3 tersebut.
Dulu waktu saya SMK, saya sering mengabaikan menulis C setelah hasil tersebut. Ini bukan hanya salah, tapi juga merugikan untuk kedepannya. Kamu kelak akan menggunakan huruf C ini untuk perhitungan teknik listrik atau penerapan apapun terhadap konsep integral tak tentu.
Dulu waktu saya SMK, saya sering mengabaikan menulis C setelah hasil tersebut. Ini bukan hanya salah, tapi juga merugikan untuk kedepannya. Kamu kelak akan menggunakan huruf C ini untuk perhitungan teknik listrik atau penerapan apapun terhadap konsep integral tak tentu.
Berikut beberapa contoh agar anda lebih menguasai konsep integral tak tentu
Contoh 1:
Sekarang bagaimana dengan soal berikut?
Contoh 2 :
Suku pertama bisa dengan mudah diselesaikan. 3x2 di integralkan menjadi 3/3x3. Bagaimana dengan akar x tersebut?
Akar x yang terdapat dalam suku kedua dapat diubah menjadi x pangkat setengah. Ingat pelajaran aljabar, akar itu sebenarnya pangkat pecahan. Jadi akar dari x sama saja dengan x pangkat 0.5. Kalau akar 2 dari x, sama saja dengan x pangkat 1. Akar 3 dari x, sama saja dengan x pangkat 1.5. Akar 4 dari x sama saja dengan x pangkat 2. Akar 5 dari x sama saja dengan x pangkat 2.5. Dan seterusnya.
Nah, karena akar x sama saja dengan x pangkat 0.5. Maka kita bisa menambahnya satu, menjadi 1.5 atau boleh ditulis 3/2. Sementara koefisien dari x itu sendiri satu (karena tidak ditulis) jadi satu dibagi 1.5. Untuk menghindari ngitung pake kalkulator, lebih baik 1.5 kita ganti dengan 3/2. Jadi koefisiennya, yaitu 1, kita bagi dengan 3/2. Hasilnya ya 2/3. Penyebut dibalik jadi pembilang. Sehingga integral dari akar x adalah 2/3 x pangkat 3/2.
Bagaimana dengan suku ketiganya, 5/(x pangkat 3)? Kalau pembagian pangkat seperti ini, kita bisa ganti dengan pangkat negatif. Jadi bisa ditulis 5x(-3). Kalau seperti ini sudah mudah di integralkan. Hasilnya [5/(-2)] x(-2). Dan ingat, tambah dengan C.
Hasilnya :
Penulisan di atas ribet, jadi kita sederhanakan, menjadi
Perhatikan, kita mengembalikan bentuk pangkat pecahan menjadi bentuk akar, dan menaikkan tanda negatif menggantikan tambah. Masih bisa lebih sederhana lagi.
Disini kita menghilangkan dua di tanda akar tersebut. Ya karena akar sendiri itu sudah merupakan lambang akar dua dari apa yang diakarkannya. Pemberian 2 pada tanda akar tersebut berlebih, jadi tidak elegan. Kecuali pangkat dari x tadi misalnya 5/7. Akar tujuh harus ditulis. Kemudian kita juga menjadikan pangkat pada suku ketiga yaitu x pangkat negatif 2, menjadi pangkat positif, dengan cara meletakkannya sebagai penyebut dari pecahan. Ini baru kereen.
Contoh 3 :
Perhatikan saja langkah-langkahnya dan cek sesuai apa yang sudah kamu pelajari.
Soal cerita (Contoh 4):
Sebuah kurva memiliki rumus fungsi dy/dx = 3x2 – 2x.
Kurva ini melewati titik (2,5). Cari persamaan kurvanya.
Caranya cari dulu integral tak tentu dari persamaan diferensial di atas. Yaitu
Sekarang kita tahu fungsinya dalam bentuk tak tentu, yaitu
y = x3 – x2 + C
masukkan titik (2,5) tersebut. Karena titik dinyatakan sebagai (x,y) berarti 2 adalah x dan 5 adalah y. Sehingga persamaannya menjadi
5 = 23 – 22 + C
5 = 8 – 4 + C
5 = 4 + C
5 – 4 = C
1 = C
Jadi C adalah 1. Kita masukkan lagi ke persamaan fungsi sehingga menjadi
y = x3 – x2 + 1
selesai.
Contoh 5:
Jawabannya :
Beuh. Susah amat. Berarti kita harus buka kurungannya. Eh, gak perlu, yang diatas itu gue hitung pake Online Integrator. Pake cara dong, lihat begini caranya.
Yang didalam kurungan itu bisa kamu ubah menjadi variabel baru, misalkan u. Jadi u = 2x4 – 5. Cari diferensialnya, dapetnya du = 6x3 dx. Karena yang tersisa setelah kurungan dalam soal adalah x3 dx, maka hasil diferensial ini kita harus ubah kebentuk tersebut. jadi
du = 6x3 dx
du/6 = x3 dx
Akibatnya soal integral itu berubah menjadi
Kembalikan u ke ujud asalnya, yaitu u = 2x4 – 5, jadinya
Ya udah. Gitu aja. Kalau kamu jawab pake online integrator, ntar gurunya malah curiga. Waktu ditanya kamu malah gak tahu.
Contoh lagi, contoh 6
Misal u = x3 – 2
Maka du = 3x2 dx
Sehingga
Gampang kan?
Coba lagi, contoh 7
Misal u = x2 + 9
Maka du = 2x dx
du/2 = x dx
sehingga
Kalau sudah seperti ini tinggal di integralkan
selesai. Mau lagi?
Coba aja sendiri deh. Cari fungsi asli dari kurva yang melewati titik (0,2) dengan persamaan diferensial
Ingat pembahasan kita dalam materi diferensial, y’ itu sama saja dengan dy/dx.
Sumber :
No comments:
Post a Comment